TutorLink Zadanie 21 - Dowód w trapezie — Matura Próbna CKE (Marzec 2026)
Treść zadania
Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2·|CD|. Przekątna AC tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta DAB. Wykaż, że w tym trapezie miara kąta DAB jest równa 60^\circ.
Krótka odpowiedź: 60^\circ
Rozwiązanie
Poprawna odpowiedź: 60^\circ
💡 Oryginał: Marzec 2026 (Zad. 21).
Oznaczmy kąt DAB = 2α. Wtedy \angle DAC = α i \angle CAB = α. Kąty CAB i ACD są naprzemianległe, więc \angle ACD = α. Trójkąt ADC jest równoramienny, więc |AD|=|CD|. Zrzutowanie wysokości na podstawę dzieli dolną podstawę 2a na odcinki o długości równej a. Powstaje trójkąt prostokątny, w którym ramię to a, a podstawa to a/2. Z funkcji cosinus \cos(2α) = 1/2 \implies 2α = 60^\circ.