TutorLink Zadanie 31 - Optymalizacja (Bryły) — Matura CKE (Maj 2025)
Treść zadania
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.
Krótka odpowiedź: x = 5{,}5
Rozwiązanie
Poprawna odpowiedź: x = 5{,}5
💡 Oryginał: Maj 2025 (Zad. 31).
Z wierzchołka B wychodzą krawędzie AB=x, BC=4 oraz BF=H. Suma: x + 4 + H = 15 \implies H = 11 - x. Dziedzina: x \in (0, 11).
Pole całkowite: P(x) = 2(4x + x(11-x) + 4(11-x)) = -2x² + 22x + 88.
Maksimum w wierzchołku paraboli: x = -22/2·(-2) = 5{,}5.